Rozkład temperatury na powierzchni grzejnika podłogowego przy wykorzystaniu MEB

Tomasz Janusz TELESZEWSKI, Piotr RYNKOWSKI*)

W artykule przedstawiono wyniki eksperymentu numerycznego - pola temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla wybranych warunków pracy. Zagadnienie inżynierskie sprowadzono do ustalonego, dwuwymiarowego pola temperatury z wewnętrznymi źródłami. Obliczenia wykonano przy użyciu metody elementów brzegowych, z pośrednią dyskretyzacją obszaru do wyznaczania całek obszarowych. Wewnętrzne źródła ciepłe – przewody grzejne – są opisane jako źródło ciepła dodatnie, natomiast moc cieplna oddawana przez płytę grzejną do otoczenia – źródła ujemne.

Application of the boundary element method to the temperature field on floor heating surface
Keywords: boundary element method, floor heating. The present work discusses a solution the numerical experiment – calculation of field temperature on floor heating surface. The problem is represented as steady, two dimensional, mathematically by Poisson equation and the adopted numerical technique is the boundary element method with proposed by author intermediate digitize area. Elements heating in floor heating is describe as positive stream, while environment as negative.

Uzyskanie jednolitego pola temperatury na powierzchni płyty grzejnej podczas pracy instalacji centralnego ogrzewania wpływa na komfort użytkowania pomieszczenia. Na etapie projektowania instalacji c.o. znane jest zapotrzebowanie na moc cieplną poszczególnych pomieszczeń. Instalatorzy dobierają długość elementów grzejnych w odniesieniu do powierzchni ogrzewanej, uwzględniając zagęszczenie przewodów w strefach, gdzie jest wzmożona wymiana ciepła. Istnieje możliwość przewymiarowania lub niedoszacowania mocy cieplnej grzejnika podłogowego dla poszczególnych stref grzewczych, co może powodować wyczuwalne różnice temperatur na poszczególnych powierzchniach grzewczych. Przy wykorzystaniu symulacji komputerowych istnieje możliwość na etapie wykonywania projektu zoptymalizowania pracy płyty grzejnej, zwłaszcza w narożach ścian, przy przegrodach zewnętrznych.
Przedstawiona w artykule symulacja przedstawia pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej. Problem inżynierski sformułowano jako ustalone, zagadnienie płaskie, w których działają wewnętrzne źródła ciepła: źródła dodatnie – elektryczne przewody grzejne oraz źródła ujemne – moc cieplna oddawana przez płytę grzejną do otoczenia. Zagadnienie rozwiązano przy użyciu metody brzegowych równań całkowych z pośrednią dyskretyzacją obszaru. Przedstawiono przykładowe pola temperatury dla wybranych warunków pracy płyty grzejnej.

Równania opisujące ustalone pole temperatury w obszarze płaskim dla rozpatrywanego zagadnienia. Równania różniczkowe opisujące ustalone pole temperatury w obszarze płaskim. Warunki brzegowe.

W zagadnieniu przyjęto, że procesy przewodzenia ciepła są bliskie stanom ustalonym oraz w układzie występują wewnętrzne źródła ciepła. Dwuwymiarowe, ustalone pole temperatury z wewnętrznymi źródłami q_υ opisane jest równaniem różniczkowym Poisson’a:

Zagadnienia brzegowe dla równań różniczkowych opisujących procesy ustalonego przewodzenia ciepła formułuje się w postaci [1]:

warunku brzegowego I rodzaju – warunek Dirichleta – zakładającego na brzegu obszaru wartości temperatury,
warunku brzegowego II rodzaju – warunek Neumanna – zakładającego na brzegu obszaru wartości strumienia ciepła,

Rys. 1. Szkic do rozważań zagadnień brzegowych w jednospójnym obszarze płaskim

warunku brzegowego III rodzaju – warunek Robina – opisującego równość strumienia ciepła na brzegu obszaru dopływającego z wnętrza obszaru i strumienia ciepła przejmowanego przez medium otaczające rozważany obszar.

Zagadnienie brzegowe pierwszego rodzaju w przestrzeni dwuwymiarowej ℜ₂

Zagadnienie brzegowe drugiego rodzaju w przestrzeni dwuwymiarowej ℜ₂

Zagadnienie brzegowe trzeciego rodzaju w przestrzeni dwuwymiarowej ℜ₂

Brzegowe równania całkowe opisujące ustalone przewodzenie ciepła w przestrzeni dwuwymiarowej

Przy założeniu, że w obszarze płaskim (Λ) ograniczonym zamkniętą krzywą (L) (rys. 1) na części powierzchni są zadane wartości temperatury opisane warunkiem brzegowym (2), natomiast na części powierzchni są zadane wartości strumienia ciepła opisane warunkiem brzegowym (3) całkowe równanie opisujące ustalone pole temperatury na brzegu obszaru ma postać [2]:

gdzie jądra całkowe (rozwiązania podstawowe) KT(p, q) i KQ(p, q) mają postać:

Współczynnik χ(p) jest zale żny od krzywizny krzywej (L) punkcie (p) i dla gładkiego fragmentu brzegu jest równy χ(p) = 1/2.

Po wyznaczeniu niewiadomych wartości T(p) i q(p) odpowiednio na częściach linii brzegowej (Lf) i (Lg) przez rozwiązanie równania całkowego (5) temperaturę T(u) w dowolnym punkcie (u) obszaru płaskiego(Λ) można wyznaczyć ze związku:

Wyznaczanie całek po wnętrzu obszaru
W rozpatrywanym zagadnieniu występuje całka po wnętrzu obszaru (7).

Dyskretyzacja podlega również wnętrze obszaru płaskiego. W celu uniknięcia dyskretyzacji wnętrza obszaru zastosowano pośrednią dyskretyzację obszaru. Podstawą proponowanej metody w rozwiązywaniu całek po obszarze płaskim (lub przestrzennym) jest założenie, że narożami płaskich powierzchni cząstkowych (trójkątów) lub objętości cząstkowych (ostrosłupów) są punkty wyznaczające panele i punkty kolokacji na panelach. Korzystając z brzegowych punktów paneli i punktów kolokacji można dokonać dyskretyzacji wnętrza zarówno obszaru płaskiego jak i przestrzennego [3].

Rys. 2. Zasada dyskretyzacji wnętrza obszaru płaskiego (Λ) przy wykorzystaniu brzegowych punktów kolokacji

Obszar płaski o wypukłym brzegu można podzielić na dowolną ilość płaskich powierzchni cząstkowych, z których każda jest trójkątem, którego wierzchołki leżą na linii brzegowej. Przy założeniu, że jeden wierzchołek wszystkich trójkątów jest wierzchołkiem wspólnym, suma pól powierzchni cząstkowych jest równa powierzchni zdyskretyzowanego obszaru płaskiego (rys. 2.). Dla dwuwymiarowego, ustalonego przewodzenia ciepła, przyjmując, że na powierzchniach cząstkowych o wspólnym wierzchołku na elemencie [i] – wartość funkcji qυ(p_[i]) opisujących pole źródłowe w obrębie danej powierzchni obszaru jest stała, całkę (7) można zapisać w postaci [3]:

Numeryczne rozwiązanie równań całkowych
Zastępując powierzchnię brzegową (S) układem (J) powierzchni cząstkowych i przyjmując, że wartości funkcji i w obrębie każdej powierzchni cząstkowej mają stałą wartość równanie całkowe (5) można sprowadzić do układu algebraicznych równań liniowych (J):

gdzie (K) jest liczbą podobszarów elementarnych wyodrębnionych w obszarze (Ω).

Pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej
Wyznaczyć pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla wybranych przypadków ułożenia przewodów grzejnych. W celu wizualizacji wyników rozwiązania zagadnienia pola temperatury pokazano przypadek dla mniejszej ilości przewodów grzejnych. Moc przewodów grzejnych przyjęto w wysokości 7,5 W/mb. Moc cieplna oddawana z powierzchni grzejnej do otoczenia przyjęto w wysokości 60 W/m2. Warunki brzegowe przyjęto następujące: na krawędzi lewej i górnej przyjęto temperaturę przegrody równą 18^oC, na krawędzi prawej i dolnej przyjęto temperaturę przegrody równą 20^oC.
Na zdjęciu przedstawionym na rys. 3c widoczna jest wzmożona wymiana ciepła w rogu pomieszczenia oraz zdecydowanie wyższa temperatura posadzki z obniżoną temperaturą w narożu.

Rys. 3a. Ułożenie przewodów grzejnych

Rys. 3b. Pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla jednego przewodu grzejnego (szkic rys. 3a)

Rys. 3c. Zdjęcie kamerą termowizyjną naroża pomieszczenia, w którym źródłem ciepła jest ogrzewanie podłogowe

Rys. 4a. Ułożenie przewodów grzejnych

Rys. 4b. Pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla
kilku przewodów (szkic rys. 4a)

Rys. 5a. Przesunięte przewody grzejne w stosunku do układu z rysunku 4a

Rys. 5b. Pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla kilku przewodów (szkic rys. 5a) Skala barw dla rys. 4b i 5b – identyczna

Rys. 6a. Zmniejszenie ilości przewodów grzejnych – oddalenie od przegrody ze źródłem ciepła

Rys. 6b. Pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla rys 6a Skala barw dla rys. 4b, 5b oraz 6b – identyczna

Rys. 7a. Zmniejszenie ilości przewodów grzejnych –oddalenie od przegrody ze źródłem ciepła

Rys. 7b. Pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla rys 6a Skala barw dla rys. 4b, 5b, 6b oraz 7b – identyczna

Wnioski
Wyniki obliczeń numerycznej symulacji przedstawiają pole temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla kilku wybranych przypadków. Komputerowa symulacja, przy wykorzystaniu metody elementów brzegowych pola temperatury pozwala na optymalne zaprojektowanie trasy przewodów grzejnych, tak by temperatura posadzki nie przekraczała wartości dopuszczalnej związanej z wymaganiami komfortu cieplnego i jednocześnie jej rozkład był jak najbardziej równomierny. Dotyczy to zwłaszcza stref, gdzie jest wzmożona wymiana – wzrost zapotrzebowania na moc cieplną, na przykład strefy przy drzwiach, oknach lub narożach przegród zewnętrznych. Sposób wyznaczania nieustalonego pola temperatury w przekroju poprzecznym płyty grzejnej metodą elementów brzegowych został opisany w artykule [4] „Symulacja pola temperatury w płycie grzejnika podłogowego metodą brzegowych równań całkowych” [4].
Obliczenia wykonano własnym programem autorskim w języku programowania Fortran przy użyciu kompilatora firmy Intel.

Literatura
[1] Brebbia C.A., Telles J.F.C., Wrobel L.C.: Boundary Element Techniques. Theory and Applications in Engineering. Springer-Verlag NY 1984.
[2] Majchrzak E.: Metoda elementów brzegowych w przepływie ciepła, Wyd. Pol. Częstochowskiej 2001.
[3] Piotr Rynkowski, Tomasz Janusz Teleszewski, Numeryczne modelowanie procesów przewodzenia ciepła w obiektach z wewnętrznymi źródłami Metodą Elementów Brzegowych z Pośrednią Dyskretyzacją Obszaru, XIII Warsztaty Naukowe PTSK „Symulacja w Badaniach i Rozwoju”, Kazimierz Dolny n/Wisłą 2006.
[4] Rynkowski Piotr, Teleszewski Tomasz, Symulacja pola temperatury w płycie grzejnika podłogowego metodą brzegowych równań całkowych, XIV Warsztaty Naukowe PTSK, „Symulacja w Badaniach i Rozwoju”, Krynica-Zdrój 2007.
[5] Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P.: Numerical Recipes Cambridge University Press Third ed. 2007.

*) dr inż. Tomasz Janusz TELESZEWSKI, dr inż. Piotr RYNKOWSKI – Politechnika Białostocka, Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska; Katedra Ciepłownictwa, Białystok

Źródło: Czasopismo Energia i Budynek, 11(42) 2010